חקירה מלאה של פונקציות מעריכיות

גרסת קריאה לטלפון. לחצו על "רמז", "תשובה" או "פתרון מלא" כדי לפתוח.

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 10)

נתונה הפונקציה

f (x) = e^{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}

.
א. מצאו את תחום ההגדרה.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים.
ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ה. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

רמז

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x - 3) e^{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}

תשובה

תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך:

(0, 1)

; קיצון:

(1, e^{4})

מקסימום,

(3, 1)

מינימום; עלייה:

x < 1

או

x > 3

; ירידה:

1 < x < 3

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

למציאת חיתוך עם ציר

y

f (0) = e^{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} + 9 \cdot 0} = e^{0} = 1 ⟹ (0, 1)

נשווה

f (x) = 0

למציאת חיתוך עם ציר

x

שימו לב כי

e^{t} > 0

תמיד ולכן המשוואה

e^{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x} = 0

חסרת פתרון ואין חיתוך עם ציר

x

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי הכלל

(e^{g (x)})^{'} = g^{'} (x) \cdot e^{g (x)}

f^{'} (x) = (3 x^{2} - 12 x + 9) \cdot e^{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}

נוציא גורם משותף מחוץ לסוגריים:

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x - 3) \cdot e^{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}

נשווה את הנגזרת לאפס

f^{'} (x) = 0

(הביטוי

e^{...} > 0

תמיד ולכן אינו מתאפס):

3 (x - 1) (x - 3) = 0 ⟹ x = 1, x = 3

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'}

סביב האפסים (הגורם

e^{...}

חיובי תמיד):

עבור

x < 1

מתקיים

f^{'} > 0

, עבור

1 < x < 3

מתקיים

f^{'} < 0

, ועבור

x > 3

מתקיים

f^{'} > 0

נציב בפונקציה:

f (1) = e^{4}

ו-

f (3) = e^{0} = 1

נקודות הקיצון הן:

(1, e^{4})

מקסימום,

(3, 1)

מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: עלייה בתחומים

x < 1

או

x > 3

ירידה בתחום

1 < x < 3

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך:

(0, 1)

; קיצון:

(1, e^{4})

מקסימום,

(3, 1)

מינימום; עלייה:

x < 1

או

x > 3

; ירידה:

1 < x < 3

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 8)

נתונה הפונקציה

f (x) = e^{x + 6} + e^{- x}

רמז

f^{'} (x) = e^{x + 6} - e^{- x}

תשובה

א. כל

x

ב.

(0, e^{6} + 1) \approx (0, 404.4)

, אין חיתוך עם ציר

x

ג.

(- 3, 2 e^{3})

מינימום
ד. עלייה:

x > - 3

; ירידה:

x < - 3

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה

f (x) = e^{x + 6} + e^{- x}

מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

למציאת חיתוך עם ציר

y

f (0) = e^{0 + 6} + e^{- 0} = e^{6} + 1 \approx 404.4 ⟹ (0, e^{6} + 1)

נשווה

f (x) = 0

למציאת חיתוך עם ציר

x

שימו לב כי

e^{t} > 0

תמיד, ולכן

e^{x + 6} + e^{- x}

הוא סכום של שני מספרים חיוביים ואינו מתאפס. המשוואה

f (x) = 0

חסרת פתרון ואין חיתוך עם ציר

x

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי הכלל

(e^{g (x)})^{'} = g^{'} (x) \cdot e^{g (x)}

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x + 6} + (- 1) \cdot e^{- x} = e^{x + 6} - e^{- x}

נשווה את הנגזרת לאפס

f^{'} (x) = 0

e^{x + 6} = e^{- x}

הפונקציה

e^{t}

חד-חד-ערכית, ולכן נשווה את החזקות:

x + 6 = - x ⟹ 2 x = - 6 ⟹ x = - 3

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'}

סביב האפס:

f^{'} (x) > 0 ⟺ e^{x + 6} > e^{- x} ⟺ x + 6 > - x ⟺ x > - 3

עבור

x < - 3

מתקיים

f^{'} < 0

, ועבור

x > - 3

מתקיים

f^{'} > 0

נציב בפונקציה:

f (- 3) = e^{- 3 + 6} + e^{3} = 2 e^{3} \approx 40.2

נקודת הקיצון היא:

(- 3, 2 e^{3})

מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: עלייה בתחום

x > - 3

ירידה בתחום

x < - 3

לצורך הסקיצה, התנהגות בקצוות: כאשר

x \to \infty

מתקיים

e^{x + 6} \to \infty

כאשר

x \to - \infty

מתקיים

e^{- x} \to \infty

. לכן הגרף עולה לאינסוף בשני הכיוונים.

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך:

(0, e^{6} + 1) \approx (0, 404.4)

, אין חיתוך עם ציר

x

; קיצון:

(- 3, 2 e^{3})

מינימום; עלייה:

x > - 3

; ירידה:

x < - 3

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 11)

נתונה הפונקציה

f (x) = x \cdot e^{x - x^{2}}

רמז

f^{'} (x) = (1 + x - 2 x^{2}) e^{x - x^{2}}

תשובה

תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך:

(0, 0)

; קיצון:

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} e^{- \frac{3}{4}})

מינימום,

(1, 1)

מקסימום; עלייה:

- \frac{1}{2} < x < 1

; ירידה:

x < - \frac{1}{2}

או

x > 1

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

לחיתוך עם ציר

y

ונקבל

f (0) = 0 \cdot e^{0} = 0

נשווה

f (x) = 0

לחיתוך עם ציר

x

: מאחר ש-

e^{x - x^{2}} > 0

תמיד, נקבל

x = 0

בלבד.

נקודת החיתוך היחידה עם שני הצירים היא

(0, 0)

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי כלל נגזרת מכפלה

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x - x^{2}} + x \cdot (1 - 2 x) \cdot e^{x - x^{2}}

נוציא גורם משותף

e^{x - x^{2}}

f^{'} (x) = (1 + x - 2 x^{2}) \cdot e^{x - x^{2}}

נפרק את הביטוי הריבועי לגורמים:

f^{'} (x) = - (2 x + 1) (x - 1) \cdot e^{x - x^{2}}

נשווה את הנגזרת לאפס

f^{'} (x) = 0

(שימו לב כי

e^{t} > 0

תמיד):

- (2 x + 1) (x - 1) = 0 ⟹ x = - \frac{1}{2}, x = 1

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'}

סביב האפסים (הסימן נקבע לפי הפרבולה שכן

e^{...} > 0

עבור

x < - \frac{1}{2}

מתקיים

f^{'} < 0

, עבור

- \frac{1}{2} < x < 1

מתקיים

f^{'} > 0

, ועבור

x > 1

מתקיים

f^{'} < 0

נציב בפונקציה:

f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{3}{4}} \approx - 0.2362

ו-

f (1) = 1 \cdot e^{0} = 1

נקודות הקיצון הן:

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} e^{- \frac{3}{4}})

מינימום,

(1, 1)

מקסימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: עלייה בתחום

- \frac{1}{2} < x < 1

ירידה בתחומים

x < - \frac{1}{2}

או

x > 1

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך:

(0, 0)

; קיצון:

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} e^{- \frac{3}{4}})

מינימום,

(1, 1)

מקסימום; עלייה:

- \frac{1}{2} < x < 1

; ירידה:

x < - \frac{1}{2}

או

x > 1

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 5)

נתונה הפונקציה

f (x) = (3 x + 1) e^{- 2 x}

רמז

f^{'} (x) = (1 - 6 x) e^{- 2 x}

תשובה

א. כל

x

ב.

(- \frac{1}{3}, 0)

(0, 1)

ג.

(\frac{1}{6}, \frac{3}{2} e^{- \frac{1}{3}}) \approx (\frac{1}{6}, 1.075)

מקסימום
ד. עלייה:

x < \frac{1}{6}

; ירידה:

x > \frac{1}{6}

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה

f (x) = (3 x + 1) e^{- 2 x}

מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

למציאת חיתוך עם ציר

y

f (0) = (3 \cdot 0 + 1) \cdot e^{0} = 1 ⟹ (0, 1)

נשווה

f (x) = 0

למציאת חיתוך עם ציר

x

: מאחר ש-

e^{- 2 x} > 0

תמיד, נקבל:

3 x + 1 = 0 ⟹ x = - \frac{1}{3} ⟹ (- \frac{1}{3}, 0)

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי כלל נגזרת מכפלה

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

ולפי הכלל

(e^{g (x)})^{'} = g^{'} (x) \cdot e^{g (x)}

f^{'} (x) = 3 \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 1) \cdot (- 2) \cdot e^{- 2 x}

נוציא גורם משותף

e^{- 2 x}

f^{'} (x) = (3 - 6 x - 2) \cdot e^{- 2 x} = (1 - 6 x) \cdot e^{- 2 x}

נשווה את הנגזרת לאפס

f^{'} (x) = 0

(הביטוי

e^{- 2 x} > 0

תמיד ולכן אינו מתאפס):

1 - 6 x = 0 ⟹ x = \frac{1}{6}

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'}

סביב האפס (הסימן נקבע לפי הגורם

1 - 6 x

שכן

e^{- 2 x} > 0

עבור

x < \frac{1}{6}

מתקיים

f^{'} > 0

, ועבור

x > \frac{1}{6}

מתקיים

f^{'} < 0

נציב בפונקציה:

f (\frac{1}{6}) = (3 \cdot \frac{1}{6} + 1) \cdot e^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} e^{- \frac{1}{3}} \approx 1.075

נקודת הקיצון היא:

(\frac{1}{6}, \frac{3}{2} e^{- \frac{1}{3}})

מקסימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: עלייה בתחום

x < \frac{1}{6}

ירידה בתחום

x > \frac{1}{6}

לצורך הסקיצה, התנהגות בקצוות: כאשר

x \to \infty

הגורם

e^{- 2 x}

שואף לאפס מהר יותר מגידול

3 x + 1

, ולכן

f (x) \to 0

כאשר

x \to - \infty

מתקיים

f (x) \to - \infty

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך:

(- \frac{1}{3}, 0)

(0, 1)

; קיצון:

(\frac{1}{6}, \frac{3}{2} e^{- \frac{1}{3}}) \approx (\frac{1}{6}, 1.075)

מקסימום; עלייה:

x < \frac{1}{6}

; ירידה:

x > \frac{1}{6}

(יואל גבע 472 א', עמ' 85, תר' 20)

נתונה הפונקציה

y = \frac{e ^{x}}{x ^{2} - 8}

.
א. מצאו את תחום ההגדרה.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים.
ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את האסימפטוטות המאונכות לציר ה-

x

.
ו. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

רמז

y^{'} = \frac{e ^{x} ( x - 4 ) ( x + 2 )}{( x ^{2} - 8 ) ^{2}}

תשובה

תחום הגדרה:

x \neq = \pm 8

; חיתוך:

(0, - \frac{1}{8})

; קיצון:

(- 2, - \frac{1}{4 e ^{2}})

מקסימום,

(4, \frac{e ^{4}}{8})

מינימום; אסימפטוטות אנכיות:

x = \pm 8

; עלייה:

x < - 8

או

- 8 < x < - 2

או

x > 4

; ירידה:

- 2 < x < 8

או

8 < x < 4

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: נדרוש מכנה שונה מאפס

x^{2} - 8 \neq = 0 ⟹ x \neq = \pm 8

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

לחיתוך עם ציר

y

ונקבל

y = \frac{e ^{0}}{0 ^{2} - 8} = - \frac{1}{8} ⟹ (0, - \frac{1}{8})

נשווה

y = 0

לחיתוך עם ציר

x

: מאחר ש-

e^{x} > 0

לכל

x

, אין חיתוך עם ציר

x

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי כלל נגזרת מנה

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

y^{'} = \frac{e ^{x} ( x ^{2} - 8 ) - e ^{x} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 8 ) ^{2}}

נוציא גורם משותף

e^{x}

במונה:

y^{'} = \frac{e ^{x} ( x ^{2} - 2 x - 8 )}{( x ^{2} - 8 ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 4 ) ( x + 2 )}{( x ^{2} - 8 ) ^{2}}

נשווה את הנגזרת לאפס

y^{'} = 0

(המכנה בריבוע חיובי ו-

e^{x} > 0

תמיד):

(x - 4) (x + 2) = 0 ⟹ x = 4, x = - 2

(שניהם בתחום ההגדרה).

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

y^{'}

סביב האפסים ונקודות אי-ההגדרה

\pm 8 \approx \pm 2.83

עבור

x < - 8

- 8 < x < - 2

, ו-

x > 4

מתקיים

y^{'} > 0

עבור

- 2 < x < 8

ו-

8 < x < 4

מתקיים

y^{'} < 0

נציב בפונקציה:

y (- 2) = \frac{e ^{- 2}}{( - 2 ) ^{2} - 8} = - \frac{1}{4 e ^{2}}

ו-

y (4) = \frac{e ^{4}}{4 ^{2} - 8} = \frac{e ^{4}}{8}

נקודות הקיצון הן:

(- 2, - \frac{1}{4 e ^{2}})

מקסימום,

(4, \frac{e ^{4}}{8})

מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: עלייה כאשר

x < - 8

או

- 8 < x < - 2

או

x > 4

ירידה כאשר

- 2 < x < 8

או

8 < x < 4

ה. אסימפטוטות אנכיות: המכנה מתאפס ב-

x = 8

וב-

x = - 8

, והמונה שונה מאפס (

e^{\pm 8} \neq = 0

לכן הישרים

x = 8

ו-

x = - 8

הם אסימפטוטות אנכיות.

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה:

x \neq = \pm 8

; חיתוך:

(0, - \frac{1}{8})

; קיצון:

(- 2, - \frac{1}{4 e ^{2}})

מקסימום,

(4, \frac{e ^{4}}{8})

מינימום; אסימפטוטות אנכיות:

x = \pm 8

; עלייה:

x < - 8

או

- 8 < x < - 2

או

x > 4

; ירידה:

- 2 < x < 8

או

8 < x < 4

(יואל גבע 472 א', עמ' 85, תר' 16)

נתונה הפונקציה

y = \frac{e ^{x}}{x - 2}

x

.
ו. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

רמז

y^{'} = \frac{e ^{x} ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}

תשובה

א.

x \neq = 2

ב.

(0, - \frac{1}{2})

, אין חיתוך עם ציר

x

ג.

(3, e^{3})

מינימום
ד. עלייה:

x > 3

; ירידה:

x < 2

או

2 < x < 3

ה.

x = 2

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: נדרוש מכנה שונה מאפס

x - 2 \neq = 0 ⟹ x \neq = 2

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

לחיתוך עם ציר

y

ונקבל

y = \frac{e ^{0}}{0 - 2} = - \frac{1}{2} ⟹ (0, - \frac{1}{2})

נשווה

y = 0

לחיתוך עם ציר

x

: מאחר ש-

e^{x} > 0

לכל

x

, אין חיתוך עם ציר

x

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי כלל נגזרת מנה

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

y^{'} = \frac{e ^{x} ( x - 2 ) - e ^{x} \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}}

נוציא גורם משותף

e^{x}

במונה:

y^{'} = \frac{e ^{x} ( x - 2 - 1 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}

נשווה את הנגזרת לאפס

y^{'} = 0

(המכנה בריבוע חיובי ו-

e^{x} > 0

תמיד):

x - 3 = 0 ⟹ x = 3

(בתחום ההגדרה).

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

y^{'}

סביב האפס ונקודת אי-ההגדרה

x = 2

(הסימן נקבע לפי הגורם

x - 3

עבור

x < 2

ו-

2 < x < 3

מתקיים

y^{'} < 0

, ועבור

x > 3

מתקיים

y^{'} > 0

נציב בפונקציה:

y (3) = \frac{e ^{3}}{3 - 2} = e^{3} \approx 20.1

נקודת הקיצון היא:

(3, e^{3})

מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: עלייה בתחום

x > 3

ירידה בתחומים

x < 2

או

2 < x < 3

ה. אסימפטוטות אנכיות: המכנה מתאפס ב-

x = 2

, והמונה שונה מאפס (

e^{2} \neq = 0

לכן הישר

x = 2

הוא אסימפטוטה אנכית.

לצורך הסקיצה, ליד האסימפטוטה: כאשר

x \to 2^{+}

המכנה חיובי וקטן והמונה חיובי, ולכן

y \to + \infty

כאשר

x \to 2^{-}

המכנה שלילי וקטן והמונה חיובי, ולכן

y \to - \infty

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה:

x \neq = 2

; חיתוך:

(0, - \frac{1}{2})

, אין חיתוך עם ציר

x

; קיצון:

(3, e^{3})

מינימום; עלייה:

x > 3

; ירידה:

x < 2

או

2 < x < 3

; אסימפטוטה אנכית:

x = 2

שיעורי בית

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 9)

נתונה הפונקציה

f (x) = - e^{x^{2} - 8 x}

רמז

f^{'} (x) = - (2 x - 8) e^{x^{2} - 8 x}

תשובה

תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, - 1)

; נקודת קיצון:

(4, - e^{- 16})

מקסימום; עלייה:

x < 4

; ירידה:

x > 4

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

למציאת חיתוך עם ציר

y

f (0) = - e^{0^{2} - 8 \cdot 0} = - e^{0} = - 1

נקודת החיתוך עם ציר

y

היא

(0, - 1)

נשווה

f (x) = 0

למציאת חיתוך עם ציר

x

המשוואה

- e^{x^{2} - 8 x} = 0

חסרת פתרון כי

e^{x^{2} - 8 x} > 0

לכל

x

, ולכן אין חיתוך עם ציר

x

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור את הפונקציה:

f^{'} (x) = - (2 x - 8) e^{x^{2} - 8 x}

נשווה את הנגזרת לאפס:

- (2 x - 8) e^{x^{2} - 8 x} = 0

מכיוון ש-

e^{x^{2} - 8 x} > 0

תמיד, נקבל

- (2 x - 8) = 0

, ומכאן

x = 4

נציב בפונקציה המקורית:

f (4) = - e^{4^{2} - 8 \cdot 4} = - e^{- 16}

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן הנגזרת סביב

x = 4

, כאשר

e^{x^{2} - 8 x} > 0

תמיד:

עבור

x < 4

מתקיים

- (2 x - 8) > 0

ולכן

f^{'} (x) > 0

(עלייה).

עבור

x > 4

מתקיים

- (2 x - 8) < 0

ולכן

f^{'} (x) < 0

(ירידה).

מכאן שהנקודה

(4, - e^{- 16})

היא נקודת מקסימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: נקבע ישירות מסימני הנגזרת:

תחום עלייה:

x < 4

, תחום ירידה:

x > 4

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, - 1)

; נקודת קיצון:

(4, - e^{- 16})

מקסימום; עלייה:

x < 4

; ירידה:

x > 4

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 12)

נתונה הפונקציה

f (x) = - e^{2 x} + 4 e^{x}

רמז

f^{'} (x) = - 2 e^{2 x} + 4 e^{x}

תשובה

תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, 3)

(ln 4, 0)

; נקודת קיצון:

(ln 2, 4)

מקסימום; עלייה:

x < ln 2

; ירידה:

x > ln 2

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

לחיתוך עם ציר

y

f (0) = - e^{0} + 4 e^{0} = - 1 + 4 = 3

, ולכן נקודת החיתוך היא

(0, 3)

לחיתוך עם ציר

x

נשווה

f (x) = 0

- e^{2 x} + 4 e^{x} = 0 ⟹ e^{x} (4 - e^{x}) = 0

מאחר ש-

e^{x} > 0

לכל

x

, נקבל

4 - e^{x} = 0

, כלומר

e^{x} = 4

ומכאן

x = ln 4

נקודת החיתוך עם ציר

x

היא

(ln 4, 0)

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור את הפונקציה:

f^{'} (x) = - 2 e^{2 x} + 4 e^{x} = - 2 e^{x} (e^{x} - 2)

נשווה את הנגזרת לאפס:

- 2 e^{x} (e^{x} - 2) = 0

מכיוון ש-

e^{x} > 0

תמיד, נקבל

e^{x} - 2 = 0

, כלומר

e^{x} = 2

ומכאן

x = ln 2

נציב בפונקציה:

f (ln 2) = - (e^{l n 2})^{2} + 4 e^{l n 2} = - 4 + 8 = 4

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'} (x)

סביב

x = ln 2

, כאשר

e^{x} > 0

תמיד:

עבור

x < ln 2

מתקיים

e^{x} < 2

, ולכן

f^{'} (x) > 0

(עלייה).

עבור

x > ln 2

מתקיים

e^{x} > 2

, ולכן

f^{'} (x) < 0

(ירידה).

מכאן שהנקודה

(ln 2, 4)

היא נקודת מקסימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: נקבע ישירות מסימני הנגזרת:

תחום עלייה:

x < ln 2

, תחום ירידה:

x > ln 2

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, 3)

(ln 4, 0)

; נקודת קיצון:

(ln 2, 4)

מקסימום; עלייה:

x < ln 2

; ירידה:

x > ln 2

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 4)

נתונה הפונקציה

f (x) = x^{2} e^{x}

רמז

f^{'} (x) = x (x + 2) e^{x}

תשובה

תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, 0)

; נקודות קיצון:

(- 2, 4 e^{- 2})

מקסימום,

(0, 0)

מינימום; עלייה:

x < - 2

או

x > 0

; ירידה:

- 2 < x < 0

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

ונקבל

f (0) = 0^{2} \cdot e^{0} = 0

, כלומר

(0, 0)

נשווה

f (x) = 0

: המשוואה

x^{2} e^{x} = 0

נותנת

x = 0

כי

e^{x} > 0

לכל

x

נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא ראשית הצירים

(0, 0)

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי נגזרת מכפלה:

f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x (x + 2) e^{x}

נשווה את הנגזרת לאפס:

x (x + 2) e^{x} = 0

מכיוון ש-

e^{x} > 0

תמיד, נקבל

x (x + 2) = 0

, ומכאן

x = 0

או

x = - 2

נציב בפונקציה:

f (- 2) = (- 2)^{2} \cdot e^{- 2} = 4 e^{- 2} \approx 0.541

וכן

f (0) = 0

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'} (x)

, כאשר

e^{x} > 0

תמיד חיובי:

עבור

x < - 2

מתקיים

x (x + 2) > 0

, ולכן

f^{'} (x) > 0

(עלייה).

עבור

- 2 < x < 0

מתקיים

x (x + 2) < 0

, ולכן

f^{'} (x) < 0

(ירידה).

עבור

x > 0

מתקיים

x (x + 2) > 0

, ולכן

f^{'} (x) > 0

(עלייה).

לכן הנקודה

(- 2, 4 e^{- 2})

היא מקסימום, והנקודה

(0, 0)

היא מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: נקבע ישירות מסימני הנגזרת:

תחום עלייה:

x < - 2

או

x > 0

תחום ירידה:

- 2 < x < 0

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, 0)

; נקודות קיצון:

(- 2, 4 e^{- 2})

מקסימום,

(0, 0)

מינימום; עלייה:

x < - 2

או

x > 0

; ירידה:

- 2 < x < 0

(יואל גבע 472 א', עמ' 76, תר' 7)

נתונה הפונקציה

f (x) = 3 x^{2} \cdot e^{- x^{2}}

רמז

f^{'} (x) = 6 x (1 - x^{2}) e^{- x^{2}}

תשובה

תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, 0)

; נקודות קיצון:

(- 1, \frac{3}{e})

מקסימום,

(1, \frac{3}{e})

מקסימום,

(0, 0)

מינימום; עלייה:

x < - 1

או

0 < x < 1

; ירידה:

- 1 < x < 0

או

x > 1

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל

x

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

ונקבל

f (0) = 3 \cdot 0^{2} \cdot e^{0} = 0

, כלומר

(0, 0)

נשווה

f (x) = 0

: המשוואה

3 x^{2} \cdot e^{- x^{2}} = 0

נותנת

x = 0

כי

e^{- x^{2}} > 0

לכל

x

נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא

(0, 0)

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי נגזרת מכפלה וכלל השרשרת:

f^{'} (x) = 6 x e^{- x^{2}} + 3 x^{2} (- 2 x) e^{- x^{2}} = 6 x (1 - x^{2}) e^{- x^{2}}

נשווה את הנגזרת לאפס:

6 x (1 - x^{2}) e^{- x^{2}} = 0

מכיוון ש-

e^{- x^{2}} > 0

תמיד, נקבל

6 x (1 - x^{2}) = 0

, ולכן

x = 0

x = 1

x = - 1

נציב בפונקציה:

f (0) = 0

וכן

f (1) = f (- 1) = 3 \cdot 1^{2} \cdot e^{- 1} = \frac{3}{e}

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

f^{'} (x)

, כאשר

e^{- x^{2}} > 0

תמיד:

עבור

x < - 1

מתקיים

f^{'} (x) > 0

, ועבור

- 1 < x < 0

מתקיים

f^{'} (x) < 0

עבור

0 < x < 1

מתקיים

f^{'} (x) > 0

, ועבור

x > 1

מתקיים

f^{'} (x) < 0

מכאן שהנקודות

(- 1, \frac{3}{e})

ו-

(1, \frac{3}{e})

הן מקסימום, והנקודה

(0, 0)

היא מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: נקבע ישירות מסימני הנגזרת:

תחום עלייה:

x < - 1

או

0 < x < 1

תחום ירידה:

- 1 < x < 0

או

x > 1

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה: כל

x

; חיתוך עם הצירים:

(0, 0)

; נקודות קיצון:

(- 1, \frac{3}{e})

מקסימום,

(1, \frac{3}{e})

מקסימום,

(0, 0)

מינימום; עלייה:

x < - 1

או

0 < x < 1

; ירידה:

- 1 < x < 0

או

x > 1

(יואל גבע 472 א', עמ' 85, תר' 17)

נתונה הפונקציה

y = \frac{e ^{2 x}}{x ^{2}}

x

.
ו. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

רמז

y^{'} = \frac{2 e ^{2 x} ( x - 1 )}{x ^{3}}

תשובה

תחום הגדרה:

x \neq = 0

; חיתוך עם הצירים: אין; נקודת קיצון:

(1, e^{2})

מינימום; עלייה:

x < 0

או

x > 1

; ירידה:

0 < x < 1

; אסימפטוטה אנכית:

x = 0

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: המכנה אינו יכול להתאפס,

x^{2} \neq = 0

, ולכן תחום ההגדרה הוא

x \neq = 0

ב. נקודות חיתוך עם הצירים:

x = 0

אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר

y

נשווה

y = 0

: המשוואה

e^{2 x} = 0

חסרת פתרון כי

e^{2 x} > 0

לכל

x

מסקנה: אין לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים.

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי נגזרת מנה:

y^{'} = \frac{2 e ^{2 x} x ^{2} - e ^{2 x} \cdot 2 x}{x ^{4}} = \frac{2 e ^{2 x} ( x - 1 )}{x ^{3}}

נשווה את הנגזרת לאפס:

\frac{2 e ^{2 x} ( x - 1 )}{x ^{3}} = 0 ⟹ 2 e^{2 x} (x - 1) = 0

מכיוון ש-

e^{2 x} > 0

תמיד, נקבל

x - 1 = 0

, כלומר נקודה חשודה ב-

x = 1

נציב בפונקציה:

y (1) = \frac{e ^{2 \cdot 1}}{1 ^{2}} = e^{2}

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

y^{'}

, כאשר ידוע ש-

2 e^{2 x} > 0

תמיד:

עבור

x < 0

מתקיים

y^{'} > 0

(עלייה).

עבור

0 < x < 1

מתקיים

y^{'} < 0

(ירידה).

עבור

x > 1

מתקיים

y^{'} > 0

(עלייה).

לכן הנקודה

(1, e^{2})

היא נקודת מינימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: נקבע ישירות מסימני הנגזרת:

תחום עלייה:

x < 0

או

x > 1

, תחום ירידה:

0 < x < 1

ה. אסימפטוטות אנכיות: נבדוק איפוס מכנה ב-

x = 0

בנקודה

x = 0

המכנה מתאפס אך המונה שונה מאפס (

e^{0} = 1 \neq = 0

), ולכן

x = 0

היא אסימפטוטה אנכית.

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה:

x \neq = 0

; חיתוך עם הצירים: אין; נקודת קיצון:

(1, e^{2})

מינימום; עלייה:

x < 0

או

x > 1

; ירידה:

0 < x < 1

; אסימפטוטה אנכית:

x = 0

(יואל גבע 472 א', עמ' 85, תר' 22)

נתונה הפונקציה

y = \frac{e ^{2 x}}{2 - e ^{x}}

x

.
ו. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

רמז

y^{'} = \frac{e ^{2 x} ( 4 - e ^{x} )}{( 2 - e ^{x} ) ^{2}}

תשובה

תחום הגדרה:

x \neq = ln 2

; חיתוך עם הצירים:

(0, 1)

; נקודת קיצון:

(ln 4, - 8)

מקסימום; עלייה:

x < ln 2

או

ln 2 < x < ln 4

; ירידה:

x > ln 4

; אסימפטוטה אנכית:

x = ln 2

פתרון מלא

א. תחום הגדרה: נדרוש שהמכנה לא יתאפס,

2 - e^{x} \neq = 0

מכאן

e^{x} \neq = 2

, ולכן תחום ההגדרה הוא

x \neq = ln 2

ב. נקודות חיתוך עם הצירים: נציב

x = 0

לחיתוך עם ציר

y

y (0) = \frac{e ^{0}}{2 - e ^{0}} = \frac{1}{2 - 1} = 1

, ולכן נקודת החיתוך היא

(0, 1)

לחיתוך עם ציר

x

נשווה

y = 0

: המונה

e^{2 x} = 0

חסר פתרון כי

e^{2 x} > 0

לכל

x

ג. נקודות קיצון וסוגן: נגזור לפי נגזרת מנה:

y^{'} = \frac{2 e ^{2 x} ( 2 - e ^{x} ) + e ^{2 x} \cdot e ^{x}}{( 2 - e ^{x} ) ^{2}} = \frac{e ^{2 x} ( 4 - e ^{x} )}{( 2 - e ^{x} ) ^{2}}

נשווה את הנגזרת לאפס:

e^{2 x} (4 - e^{x}) = 0

מאחר ש-

e^{2 x} > 0

תמיד, נקבל

4 - e^{x} = 0

, כלומר

e^{x} = 4

ומכאן

x = ln 4

נציב בפונקציה:

y (ln 4) = \frac{e ^{2 l n 4}}{2 - e ^{l n 4}} = \frac{16}{2 - 4} = - 8

נקבע את סוג הקיצון לפי סימן

y^{'}

, כאשר המכנה חיובי ו-

e^{2 x} > 0

תמיד:

עבור

x < ln 2

וכן עבור

ln 2 < x < ln 4

מתקיים

y^{'} > 0

(עלייה).

עבור

x > ln 4

מתקיים

y^{'} < 0

(ירידה).

מכאן שהנקודה

(ln 4, - 8)

היא נקודת מקסימום.

ד. תחומי עלייה וירידה: נקבע ישירות מסימני הנגזרת:

תחום עלייה:

x < ln 2

או

ln 2 < x < ln 4

, תחום ירידה:

x > ln 4

ה. אסימפטוטות אנכיות: נבדוק איפוס מכנה ב-

x = ln 2

בנקודה

x = ln 2

המכנה מתאפס אך המונה שונה מאפס (

e^{2 l n 2} = 4 \neq = 0

), ולכן

x = ln 2

היא אסימפטוטה אנכית.

סקיצה של גרף הפונקציה:

סיכום התשובות: תחום הגדרה:

x \neq = ln 2

; חיתוך עם הצירים:

(0, 1)

; נקודת קיצון:

(ln 4, - 8)

מקסימום; עלייה:

x < ln 2

או

ln 2 < x < ln 4

; ירידה:

x > ln 4

; אסימפטוטה אנכית:

x = ln 2