סדרה חשבונית - סכומים מיוחדים

גרסת קריאה לטלפון. לחצו על "רמז", "תשובה" או "פתרון מלא" כדי לפתוח.

נוסחאות

הגדרה

d = a_{n + 1} - a_{n}

האיבר הכללי

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

סכום סדרה חשבונית

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}, S_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}

סכום האיברים האחרונים

S_{last k} = S_{N} - S_{N - k}

מנוסחת הסכום לאיבר הכללי

a_{1} = S_{1}, a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2)

(יואל גבע 472 ב', עמ' 40)

סכום איברים במקומות זוגיים, אי-זוגיים ובדילוגים

איברים שנלקחים מסדרה חשבונית בדילוג קבוע (כל איבר שני, כל איבר שלישי וכו') יוצרים סדרה חשבונית חדשה.

בסדרה החדשה צריך לקבוע שלושה דברים: האיבר הראשון שלה, ההפרש שלה ומספר האיברים שלה.

מקומות אי-זוגיים

a_{1}, a_{3}, a_{5}, \dots

: מתחילים ב-

a_{1}

, ההפרש

2 d

.
מקומות זוגיים

a_{2}, a_{4}, a_{6}, \dots

: מתחילים ב-

a_{2} = a_{1} + d

, ההפרש

2 d

כל איבר

k

-י (

a_{k}, a_{2 k}, a_{3 k}, \dots

): מתחילים ב-

a_{k} = a_{1} + (k - 1) d

, ההפרש

k d

את הסכום מחשבים בנוסחה

S = \frac{m [ 2 b _{1} + ( m - 1 ) D ]}{2}

, כאשר

b_{1}

האיבר הראשון בסדרה החדשה,

D

ההפרש שלה ו-

m

מספר איבריה.

סכום איברים במקומות זוגיים, אי-זוגיים ובדילוגים - דוגמה

בסדרה חשבונית יש

16

איברים. סכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא

176

, וסכום האיברים שבמקומות הזוגיים הוא

128

. מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

בכל אחת מתת-הסדרות

8

איברים וההפרש

2 d

S_{odd} = \frac{8 [ 2 a _{1} + 7 \cdot 2 d ]}{2} = 176

4 (2 a_{1} + 14 d) = 176

a_{1} + 7 d = 22

S_{even} = \frac{8 [ 2 ( a _{1} + d ) + 7 \cdot 2 d ]}{2} = 128

4 (2 a_{1} + 16 d) = 128

a_{1} + 8 d = 16

נחסר:

d = - 6

נציב:

a_{1} + 7 \cdot (- 6) = 22

a_{1} = 64

(יואל גבע 472 ב', עמ' 43, תר' 56)

בסדרה חשבונית יש

18

איברים.
א. (1) הביעו באמצעות

a_{1}

ו-

d

את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים.
(2) הביעו באמצעות

a_{1}

ו-

d

את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים.
ב. נתון כי סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא

810

, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא

855

.
מצאו את הפרש הסדרה,

d

, ואת האיבר הראשון שלה,

a_{1}

רמז

בכל אחת משתי תת-הסדרות יש

9

איברים וההפרש הוא

2 d

. באיזה איבר מתחילה כל אחת?

תשובה

א. (1)

9 a_{1} + 72 d

, (2)

9 a_{1} + 81 d

,
ב.

d = 5

a_{1} = 50

פתרון מלא

א. (1) המקומות האי-זוגיים

a_{1}, a_{3}, \dots, a_{17}

9

איברים, הפרש

2 d

S_{odd} = \frac{9 [ 2 a _{1} + 8 \cdot 2 d ]}{2}

S_{odd} = 9 a_{1} + 72 d

(2) המקומות הזוגיים

a_{2}, a_{4}, \dots, a_{18}

: מתחילים ב-

a_{2} = a_{1} + d

9

איברים, הפרש

2 d

📌 דגש בסדרת המקומות הזוגיים מתחילים מ-

a_{2}

ולא מ-

a_{1}

, ובשתי תת-הסדרות (זוגיים ואי-זוגיים) לוקחים הפרש

2 d

S_{even} = \frac{9 [ 2 ( a _{1} + d ) + 8 \cdot 2 d ]}{2}

S_{even} = 9 a_{1} + 81 d

ב.

S_{odd} : 9 a_{1} + 72 d = 810

S_{even} : 9 a_{1} + 81 d = 855

נחסר:

9 d = 45

d = 5

נציב:

9 a_{1} + 360 = 810

a_{1} = 50

א. (1)

9 a_{1} + 72 d

, (2)

9 a_{1} + 81 d

,
ב.

d = 5

a_{1} = 50

(יואל גבע 472 ב', עמ' 44, תר' 65)

בסדרה החשבונית

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

יש

40

איברים.
האיבר הראשון בסדרה הוא

a_{1} = 17

והפרש הסדרה הוא

d

.
מהסדרה הנתונה לקחו כל איבר רביעי, כך שהתקבלה סדרה חשבונית חדשה:

a_{4}, a_{8}, a_{12}, \dots, a_{40}

.
א. כמה איברים ישנם בסדרה החדשה?
ב. הביעו באמצעות

d

את הפרש הסדרה החדשה.
ג. סכום הסדרה החדשה הוא

800

. חשבו את

d

רמז

בסדרה החדשה: האיבר הראשון הוא

a_{4}

, וההפרש בין

a_{4}

ל-

a_{8}

הוא ארבעה הפרשים של הסדרה המקורית.

תשובה

א.

10

איברים,
ב.

4 d

,
ג.

d = 3

פתרון מלא

א. המקומות

4, 8, 12, \dots, 40

הם כפולות של

4

\frac{40}{4} = 10

איברים.

ב.

D = a_{8} - a_{4} = (a_{1} + 7 d) - (a_{1} + 3 d)

D = 4 d

ג. האיבר הראשון בסדרה החדשה:

a_{4} = a_{1} + 3 d = 17 + 3 d

📌 דגש

S_{k}

הוא תמיד סכום

k

האיברים הראשונים. סכום שמתחיל באיבר אחר מחשבים כסדרה חדשה שהאיבר הראשון שלה הוא אותו איבר.

S_{new} = \frac{10 [ 2 ( 17 + 3 d ) + 9 \cdot 4 d ]}{2} = 800

5 (34 + 42 d) = 800

34 + 42 d = 160

42 d = 126

d = 3

א.

10

איברים,
ב.

4 d

,
ג.

d = 3

(יואל גבע 472 ב', עמ' 36)

סכום האיברים האחרונים בסדרה

יש מקרים שבהם רוצים לחשב סכום של איברים עוקבים בסדרה חשבונית, אך האיבר הראשון בסכום אינו

a_{1}

. דוגמה מרכזית היא סכום של

k

האיברים האחרונים בסדרה.

קיימות שתי דרכים לחשב אותו, ושתיהן מובילות לאותה תוצאה.

דרך א' - חיסור סכומים: בסדרה של

N

איברים, אם נחסר מסכום

N

האיברים הראשונים את סכום

N - k

האיברים הראשונים, נקבל את סכום

k

האיברים האחרונים.

S_{last k} = S_{N} - S_{N - k}

דרך ב' - סדרה חדשה:

k

האיברים האחרונים הם סדרה חשבונית בעצמה. ההפרש שלה הוא

d

, מספר האיברים בה הוא

k

, והאיבר הראשון שלה הוא

a_{N - k + 1}

S_{last k} = \frac{k [ 2 a _{N - k + 1} + ( k - 1 ) d ]}{2}

בדרך ב' מחשבים קודם את

a_{N - k + 1}

בנוסחת האיבר הכללי, ורק אחר כך מציבים בנוסחת הסכום.

סכום האיברים האחרונים בסדרה - דוגמה

בסדרה החשבונית

13, 16, 19, \dots

יש

20

איברים. חשבו את סכום שמונת האיברים האחרונים בסדרה.

נזהה:

a_{1} = 13

d = 3

N = 20

שמונת האיברים האחרונים הם

a_{13}, \dots, a_{20}

$12$ איברים ראשונים	$8$ איברים אחרונים
$a_{1}, \dots, a_{12}$	$a_{13}, \dots, a_{20}$
$20$ איברים

דרך א' - חיסור סכומים:

S_{last 8} = S_{20} - S_{12}

S_{20} = \frac{20 [ 2 \cdot 13 + 19 \cdot 3 ]}{2}

S_{20} = 10 (26 + 57)

S_{20} = 830

S_{12} = \frac{12 [ 2 \cdot 13 + 11 \cdot 3 ]}{2}

S_{12} = 6 (26 + 33)

S_{12} = 354

S_{last 8} = 830 - 354

S_{last 8} = 476

דרך ב' - סדרה חדשה: האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא

a_{20 - 8 + 1} = a_{13}

a_{13} = 13 + 12 \cdot 3

a_{13} = 49

S_{last 8} = \frac{8 [ 2 \cdot 49 + 7 \cdot 3 ]}{2}

S_{last 8} = 4 (98 + 21)

S_{last 8} = 476

בשתי הדרכים התקבל:

476

(יואל גבע 472 ב', עמ' 37, תר' 37)

בסדרה חשבונית שבה

45

איברים, נתון:

a_{1} = 25

d = 6

.
א. חשבו את סכום

32

האיברים הראשונים בסדרה.
ב. חשבו את סכום כל

45

האיברים בסדרה.
ג. חשבו את סכום

13

האיברים האחרונים בסדרה.
הדרכה: הסכום המבוקש שווה להפרש הסכומים

S_{45} - S_{32}

(ראו ציור).

$32$ איברים ראשונים	$13$ איברים אחרונים
$a_{1}, \dots, a_{32}$	$a_{33}, \dots, a_{45}$
$45$ איברים

רמז

בסעיף ג' הסכום המבוקש הוא הפרש בין שני הסכומים שחישבתם בסעיפים א' ו-ב'.

תשובה

א.

3776

,
ב.

7065

,
ג.

3289

פתרון מלא

א.

S_{32} = \frac{32 [ 2 \cdot 25 + 31 \cdot 6 ]}{2}

S_{32} = 16 (50 + 186)

S_{32} = 16 \cdot 236

S_{32} = 3776

ב.

S_{45} = \frac{45 [ 2 \cdot 25 + 44 \cdot 6 ]}{2}

S_{45} = \frac{45 ( 50 + 264 )}{2}

S_{45} = \frac{45 \cdot 314}{2}

S_{45} = 45 \cdot 157

S_{45} = 7065

ג.

13

האיברים האחרונים הם

a_{33}, \dots, a_{45}

, כי לפניהם

45 - 13 = 32

איברים.

S_{last 13} = S_{45} - S_{32}

S_{last 13} = 7065 - 3776

S_{last 13} = 3289

בדיקה בדרך אחרת:

a_{33} = 25 + 32 \cdot 6 = 217

S_{last 13} = \frac{13 [ 2 \cdot 217 + 12 \cdot 6 ]}{2} = \frac{13 \cdot 506}{2} = 3289

א.

3776

,
ב.

7065

,
ג.

3289

(יואל גבע 472 ב', עמ' 38, תר' 44)

בסדרה חשבונית שבה

36

איברים, נתון:

a_{1} = 11

d = 4

.
ינאי מעוניין לחשב את סכום

22

האיברים האחרונים בסדרה.
א. הסבירו מדוע

22

האיברים האחרונים בסדרה הנתונה מהווים סדרה חשבונית, וכתבו את הפרש הסדרה.
ב. הסבירו מדוע האיבר הראשון מבין

22

האיברים האחרונים בסדרה הוא

a_{15}

של הסדרה הנתונה, וחשבו את

a_{15}

.
ג. חשבו את סכום

22

האיברים האחרונים בסדרה.
היעזרו בתרשים.

$14$ איברים ראשונים	$22$ איברים אחרונים
$a_{1}, \dots, a_{14}$	$a_{15}, \dots, a_{36}$
$36$ איברים

רמז

בסדרה החדשה: האיבר הראשון הוא

a_{15}

, ההפרש הוא

d

, ומספר האיברים הוא

22

תשובה

א. ההפרש הוא

4

,
ב.

a_{15} = 67

,
ג.

2398

פתרון מלא

א.

22

האיברים האחרונים הם

a_{15}, a_{16}, \dots, a_{36}

, איברים עוקבים בסדרה הנתונה.

ההפרש בין כל שני איברים עוקבים בהם הוא

d = 4

. ההפרש קבוע, ולכן הם מהווים סדרה חשבונית עם הפרש

4

ב. לפני

22

האיברים האחרונים יש

36 - 22 = 14

איברים:

a_{1}, \dots, a_{14}

לכן האיבר הראשון מבין

22

האחרונים הוא האיבר ה-

(14 + 1)

36 - 22 + 1 = 15

📌 דגש את

k

האיברים האחרונים מתוך

N

מתחילים לספור מהאיבר ה-

(N - k + 1)

, ולא מהאיבר ה-

(N - k)

a_{15} = a_{1} + 14 d = 11 + 14 \cdot 4

a_{15} = 67

ג.

22

האיברים האחרונים הם סדרה חשבונית: האיבר הראשון

67

, ההפרש

4

, מספר האיברים

22

S_{last 22} = \frac{22 [ 2 \cdot 67 + 21 \cdot 4 ]}{2}

S_{last 22} = 11 (134 + 84)

S_{last 22} = 11 \cdot 218

S_{last 22} = 2398

א. ההפרש הוא

4

,
ב.

a_{15} = 67

,
ג.

2398

(יואל גבע 472 ב', עמ' 46-47)

מעבר מנוסחת הסכום לאיבר הכללי

בחלק מהשאלות נתונה נוסחה ל-

S_{n}

, סכום

n

האיברים הראשונים, בסדרה כלשהי. מנוסחה זו אפשר לחשב כל איבר בסדרה ולמצוא את נוסחת האיבר הכללי

a_{n}

את האיבר הראשון מקבלים ישירות: סכום של איבר אחד הוא האיבר עצמו, ולכן מציבים

n = 1

ב-

S_{n}

a_{1} = S_{1}

את שאר האיברים מקבלים בחיסור סכומים: אם מסכום

n

האיברים הראשונים מחסירים את סכום

n - 1

האיברים הראשונים, נשאר האיבר שבמקום ה-

n

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2)

כדי לקבל את

S_{n - 1}

מציבים

(n - 1)

במקום

n

, בכל מקום שבו

n

מופיע בנוסחה הנתונה.

הקשר

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

מתקיים רק מ-

n = 2

. לכן בודקים אם הנוסחה שהתקבלה נותנת את

a_{1}

גם עבור

n = 1

: אם התוצאה שווה ל-

S_{1}

, הנוסחה נכונה לכל

n

טבעי.

כדי להוכיח שהסדרה חשבונית, מראים שההפרש

a_{n + 1} - a_{n}

קבוע ואינו תלוי ב-

n

מעבר מנוסחת הסכום לאיבר הכללי - דוגמה

סכום

n

האיברים הראשונים של סדרה הוא

S_{n} = 3 n^{2} + 4 n

.
א. חשבו את

a_{1}

.
ב. מצאו נוסחה לאיבר הכללי

a_{n}

.
ג. הוכיחו שהסדרה היא חשבונית.

א.

a_{1} = S_{1}

S_{1} = 3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1

S_{1} = 7

a_{1} = 7

ב.

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

(n \geq 2)

נציב

(n - 1)

במקום

n

ב-

S_{n}

S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} + 4 (n - 1)

S_{n - 1} = 3 n^{2} - 6 n + 3 + 4 n - 4

S_{n - 1} = 3 n^{2} - 2 n - 1

a_{n} = (3 n^{2} + 4 n) - (3 n^{2} - 2 n - 1)

a_{n} = 3 n^{2} + 4 n - 3 n^{2} + 2 n + 1

a_{n} = 6 n + 1

הקשר התקבל עבור

n \geq 2

, ולכן בודקים את

n = 1

6 \cdot 1 + 1 = 7

a_{1} = S_{1} = 7

, התוצאות שוות.

לכן הנוסחה

a_{n} = 6 n + 1

נכונה לכל

n

טבעי.

ג. נציב

(n + 1)

במקום

n

a_{n + 1} = 6 (n + 1) + 1

a_{n + 1} = 6 n + 7

a_{n + 1} - a_{n} = (6 n + 7) - (6 n + 1)

a_{n + 1} - a_{n} = 6

ההפרש קבוע ואינו תלוי ב-

n

, ולכן הסדרה חשבונית והפרשה

6

(יואל גבע 472 ב', עמ' 48, תר' 76)

הנוסחה לסכום

n

האיברים הראשונים של סדרה היא

S_{n} = 3 n^{2} + n

.
א. מצאו נוסחה לסכום

(n - 1)

האיברים הראשונים בסדרה (

S_{n - 1}

).
ב. היעזרו בקשר

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

(n \geq 2)

, ומצאו נוסחה לאיבר הכללי

a_{n}

.
ג. חשבו את

S_{1}

על פי הנוסחה הנתונה

S_{n} = 3 n^{2} + n

, וחשבו את

a_{1}

על פי הנוסחה שמצאתם בסעיף ב'. הראו ש-

a_{1} = S_{1}

.
הסבירו מדוע הנוסחה שמצאתם בסעיף ב' נכונה עבור כל

n

טבעי.

רמז

ב-

S_{n}

מציבים

(n - 1)

במקום

n

, ואחר כך מחסירים:

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

תשובה

א.

S_{n - 1} = 3 n^{2} - 5 n + 2

,
ב.

a_{n} = 6 n - 2

(n \geq 2)

,
ג.

S_{1} = 4

a_{1} = 4

פתרון מלא

א. נציב

(n - 1)

במקום

n

בנוסחה הנתונה, בכל מקום שבו מופיע

n

S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} + (n - 1)

📌 דגש מציבים בתוך סוגריים מספר שלילי או ביטוי של כמה איברים, כמו

(- 1)^{2}

y - (- 1)

או

1 - (2 cos^{2} α - 1)

. את הסוגריים פותחים רק בשורה הבאה.

S_{n - 1} = 3 n^{2} - 6 n + 3 + n - 1

S_{n - 1} = 3 n^{2} - 5 n + 2

ב.

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

(n \geq 2)

a_{n} = (3 n^{2} + n) - (3 n^{2} - 5 n + 2)

a_{n} = 3 n^{2} + n - 3 n^{2} + 5 n - 2

a_{n} = 6 n - 2

ג.

S_{1} = 3 \cdot 1^{2} + 1

S_{1} = 4

a_{1} = 6 \cdot 1 - 2

a_{1} = 4

a_{1} = S_{1} = 4

הנוסחה

a_{n} = 6 n - 2

התקבלה מהקשר

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

, שנכון רק עבור

n \geq 2

מכיוון שהיא נותנת גם עבור

n = 1

את הערך

a_{1} = 4 = S_{1}

, היא נכונה לכל

n

טבעי.

א.

S_{n - 1} = 3 n^{2} - 5 n + 2

,
ב.

a_{n} = 6 n - 2

(n \geq 2)

,
ג.

S_{1} = 4

a_{1} = 4

(יואל גבע 472 ב', עמ' 48, תר' 81)

סכום

n

האיברים הראשונים של סדרה הוא

S_{n} = n^{2} + 6 n + 4

.
א. מצאו נוסחה לאיבר הכללי

a_{n}

(n \geq 2)

.
ב. האם הנוסחה שמצאת בסעיף א' נכונה גם עבור

n = 1

רמז

מצאו את

S_{n - 1}

וחסרו מ-

S_{n}

. בסעיף ב' השוו את

a_{1} = S_{1}

לערך שהנוסחה נותנת עבור

n = 1

תשובה

א.

a_{n} = 2 n + 5

(n \geq 2)

,
ב. לא

פתרון מלא

א.

S_{n - 1} = (n - 1)^{2} + 6 (n - 1) + 4

S_{n - 1} = n^{2} - 2 n + 1 + 6 n - 6 + 4

S_{n - 1} = n^{2} + 4 n - 1

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

(n \geq 2)

a_{n} = (n^{2} + 6 n + 4) - (n^{2} + 4 n - 1)

a_{n} = n^{2} + 6 n + 4 - n^{2} - 4 n + 1

a_{n} = 2 n + 5

ב. נחשב את

a_{1}

ישירות:

a_{1} = S_{1}

S_{1} = 1^{2} + 6 \cdot 1 + 4

a_{1} = 11

📌 דגש

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

נכון רק מ-

n = 2

. בודקים בנפרד אם

S_{1}

שווה לערך שהנוסחה נותנת ל-

n = 1

הנוסחה

a_{n} = 2 n + 5

נותנת עבור

n = 1

2 \cdot 1 + 5 = 7

7 \neq = 11

, ולכן הנוסחה אינה נכונה עבור

n = 1

א.

a_{n} = 2 n + 5

(n \geq 2)

,
ב. לא:

a_{1} = 11

, ואילו הנוסחה נותנת

7

שיעורי בית

(יואל גבע 472 ב', עמ' 42, תר' 54 | זוגיים ואי-זוגיים)

בסדרה חשבונית יש

24

איברים. הפרש הסדרה הוא

4

והאיבר הראשון הוא

a_{1}

.
א. (1) כתבו כמה איברים נמצאים בסדרת האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים, ואת ההפרש של סדרת איברים אלה.
(2) הביעו באמצעות

a_{1}

את האיבר הראשון של סדרת האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים.
ב. סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא

708

. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

רמז

המקומות הזוגיים הם

a_{2}, a_{4}, \dots, a_{24}

. באיזה איבר הם מתחילים, ומה ההפרש ביניהם?

תשובה

א. (1)

12

איברים, ההפרש

8

,
(2) האיבר הראשון

a_{1} + 4

, הסכום

12 a_{1} + 576

,
ב.

a_{1} = 11

פתרון מלא

א. (1) המקומות הזוגיים:

a_{2}, a_{4}, \dots, a_{24}

מספר האיברים:

\frac{24}{2} = 12

ההפרש:

2 d = 2 \cdot 4

2 d = 8

(2) האיבר הראשון בסדרת המקומות הזוגיים:

a_{2} = a_{1} + d

a_{2} = a_{1} + 4

S_{even} = \frac{12 [ 2 ( a _{1} + 4 ) + 11 \cdot 8 ]}{2}

S_{even} = 6 (2 a_{1} + 8 + 88)

S_{even} = 6 (2 a_{1} + 96)

S_{even} = 12 a_{1} + 576

ב.

12 a_{1} + 576 = 708

12 a_{1} = 132

a_{1} = 11

א. (1)

12

איברים, ההפרש

8

,
(2) האיבר הראשון

a_{1} + 4

, הסכום

12 a_{1} + 576

,
ב.

a_{1} = 11

(יואל גבע 472 ב', עמ' 44, תר' 64 | זוגיים ואי-זוגיים)

נתונה הסדרה החשבונית

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

. בסדרה ישנם

48

איברים.
האיבר הראשון של הסדרה הוא

10

והפרש הסדרה הוא

4

.
מהסדרה לקחו כל איבר שלישי, כך שהתקבלה סדרה חשבונית חדשה:

a_{3}, a_{6}, a_{9}, \dots

.
א. מהו האיבר הראשון בסדרה החדשה?
ב. מהו הפרש הסדרה החדשה?
ג. כמה איברים ישנם בסדרה החדשה?
ד. חשבו את סכום הסדרה החדשה.

רמז

הסדרה החדשה מתחילה ב-

a_{3}

, והפרשה הוא שלושה הפרשים של הסדרה המקורית.

תשובה

א.

18

,
ב.

12

,
ג.

16

איברים,
ד.

1728

פתרון מלא

א. האיבר הראשון בסדרה החדשה:

a_{3} = a_{1} + 2 d

a_{3} = 10 + 2 \cdot 4

a_{3} = 18

ב.

D = a_{6} - a_{3} = 3 d

D = 3 \cdot 4

D = 12

ג. המקומות

3, 6, 9, \dots, 48

הם כפולות של

3

\frac{48}{3} = 16

איברים.

ד.

S = \frac{16 [ 2 \cdot 18 + 15 \cdot 12 ]}{2}

S = 8 (36 + 180)

S = 8 \cdot 216

S = 1728

א.

18

,
ב.

12

,
ג.

16

איברים,
ד.

1728

(יואל גבע 472 ב', עמ' 38, תר' 42 | האיברים האחרונים)

נתונה סדרה חשבונית שבה

23

איברים.
האיבר הראשון בסדרה הוא

a_{1}

והפרש הסדרה הוא

d

.
א. הביעו באמצעות

a_{1}

ו-

d

את סכום

12

האיברים הראשונים בסדרה.
ב. הביעו באמצעות

a_{1}

ו-

d

את סכום כל

23

האיברים בסדרה.
ג. הביעו באמצעות

a_{1}

ו-

d

את סכום

11

האיברים האחרונים בסדרה.
ד. נתון כי סכום

11

האיברים האחרונים בסדרה הוא

176

.
כמו כן, האיבר השביעי בסדרה הוא

38

.
מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

רמז

סכום

11

האיברים האחרונים שווה ל-

S_{23} - S_{12}

תשובה

א.

12 a_{1} + 66 d

,
ב.

23 a_{1} + 253 d

,
ג.

11 a_{1} + 187 d

,
ד.

a_{1} = 50

d = - 2

פתרון מלא

א.

S_{12} = \frac{12 [ 2 a _{1} + 11 d ]}{2}

S_{12} = 6 (2 a_{1} + 11 d)

S_{12} = 12 a_{1} + 66 d

ב.

S_{23} = \frac{23 [ 2 a _{1} + 22 d ]}{2}

S_{23} = 23 (a_{1} + 11 d)

S_{23} = 23 a_{1} + 253 d

ג.

S_{last 11} = S_{23} - S_{12}

S_{last 11} = (23 a_{1} + 253 d) - (12 a_{1} + 66 d)

S_{last 11} = 11 a_{1} + 187 d

ד.

11 a_{1} + 187 d = 176

a_{7} = a_{1} + 6 d = 38

a_{1} = 38 - 6 d

נציב במשוואה הראשונה:

11 (38 - 6 d) + 187 d = 176

418 - 66 d + 187 d = 176

121 d = - 242

d = - 2

a_{1} = 38 - 6 \cdot (- 2)

a_{1} = 50

א.

12 a_{1} + 66 d

,
ב.

23 a_{1} + 253 d

,
ג.

11 a_{1} + 187 d

,
ד.

a_{1} = 50

d = - 2

(יואל גבע 472 ב', עמ' 39, תר' 45 | האיברים האחרונים)

בסדרה חשבונית שבה

15

איברים נתון:

a_{1} = 30

d = 2

.
א. קבעו האם האיבר הראשון מבין

10

האיברים האחרונים בסדרה הוא

a_{6}

של הסדרה הנתונה, או

a_{5}

של הסדרה הנתונה, וחשבו אותו.
ב. חשבו את סכום

10

האיברים האחרונים בסדרה הנתונה.

רמז

כמה איברים נמצאים לפני עשרת האיברים האחרונים?

תשובה

א.

a_{6} = 40

,
ב.

490

פתרון מלא

א. לפני

10

האיברים האחרונים יש

15 - 10 = 5

איברים:

a_{1}, \dots, a_{5}

לכן האיבר הראשון מבין

10

האחרונים הוא

a_{6}

(כי

15 - 10 + 1 = 6

a_{6} = 30 + 5 \cdot 2

a_{6} = 40

ב.

S_{last 10} = \frac{10 [ 2 \cdot 40 + 9 \cdot 2 ]}{2}

S_{last 10} = 5 (80 + 18)

S_{last 10} = 5 \cdot 98

S_{last 10} = 490

א.

a_{6} = 40

,
ב.

490

(יואל גבע 472 ב', עמ' 48, תר' 77 | מסכום לאיבר כללי)

נתונה נוסחה לסכום

S_{n}

של

n

האיברים הראשונים של סדרה:

S_{n} = n^{2} + 4 n

.
א. מצאו את הנוסחה לאיבר הכללי

a_{n}

(n \geq 2)

.
ב. מצאו את

a_{1}

ואת

S_{1}

, והראו שמתקיים

a_{1} = S_{1}

.
ג. הוכיחו שהסדרה היא חשבונית, וכתבו את הפרש הסדרה.

רמז

בסעיף ב' את

a_{1}

מחשבים מהנוסחה שמצאתם בסעיף א', ואת

S_{1}

מהנוסחה הנתונה. בסעיף ג' חשבו את

a_{n + 1} - a_{n}

תשובה

א.

a_{n} = 2 n + 3

(n \geq 2)

,
ב.

a_{1} = 5

S_{1} = 5

,
ג.

d = 2

פתרון מלא

א.

S_{n - 1} = (n - 1)^{2} + 4 (n - 1)

S_{n - 1} = n^{2} - 2 n + 1 + 4 n - 4

S_{n - 1} = n^{2} + 2 n - 3

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

a_{n} = (n^{2} + 4 n) - (n^{2} + 2 n - 3)

a_{n} = n^{2} + 4 n - n^{2} - 2 n + 3

a_{n} = 2 n + 3

ב. לפי הנוסחה שמצאנו:

a_{1} = 2 \cdot 1 + 3

a_{1} = 5

לפי הנוסחה הנתונה:

S_{1} = 1^{2} + 4 \cdot 1

S_{1} = 5

a_{1} = S_{1} = 5

, ולכן הנוסחה

a_{n} = 2 n + 3

נכונה לכל

n

טבעי.

ג.

a_{n + 1} = 2 (n + 1) + 3

a_{n + 1} = 2 n + 5

a_{n + 1} - a_{n} = (2 n + 5) - (2 n + 3)

a_{n + 1} - a_{n} = 2

ההפרש קבוע ואינו תלוי ב-

n

, ולכן הסדרה חשבונית והפרשה

d = 2

א.

a_{n} = 2 n + 3

(n \geq 2)

,
ב.

a_{1} = 5

S_{1} = 5

,
ג.

d = 2

(יואל גבע 472 ב', עמ' 48, תר' 80 | מסכום לאיבר כללי)

בסדרה נתון:

S_{n} = 2 n^{2} + n

.
א. מצאו את הנוסחה לאיבר הכללי

a_{n}

.
ב. מצאו את מקומו של איבר בסדרה שערכו

47

רמז

בסעיף א' אל תשכחו לבדוק את

n = 1

. בסעיף ב' השוו את

a_{n}

ל-

47

תשובה

א.

a_{n} = 4 n - 1

,
ב.

a_{12} = 47

, מקומו

12

פתרון מלא

א.

S_{n - 1} = 2 (n - 1)^{2} + (n - 1)

S_{n - 1} = 2 n^{2} - 4 n + 2 + n - 1

S_{n - 1} = 2 n^{2} - 3 n + 1

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

a_{n} = (2 n^{2} + n) - (2 n^{2} - 3 n + 1)

a_{n} = 2 n^{2} + n - 2 n^{2} + 3 n - 1

a_{n} = 4 n - 1

בדיקת

n = 1

S_{1} = 2 \cdot 1^{2} + 1

S_{1} = 3

לפי הנוסחה:

4 \cdot 1 - 1 = 3

a_{1} = S_{1} = 3

, ולכן הנוסחה

a_{n} = 4 n - 1

נכונה לכל

n

טבעי.

ב.

4 n - 1 = 47

4 n = 48

n = 12

12

הוא מספר טבעי, ולכן האיבר שערכו

47

הוא

a_{12}

א.

a_{n} = 4 n - 1

,
ב.

a_{12} = 47

, מקומו

12